Die Präsenzaufgaben von Blatt 5.

Die werden sehr wichtig sein für die Bearbeitung der Hausaufgaben.

Deswegen hoffe ich, dass es mir gelingt, jetzt gut genug zu erklären.

Wir fangen an mit Präsenzaufgabe 12, die sich um die Wurzelfunktion dreht.

Die ist natürlich nur auf den positiven oder jenen Zahlen definiert und ist

einfach die ganz normale Wurzelfunktion, wie wir sie so kennen.

Und wir sollen zeigen, dass f bei 0 stetig ist. Der Fall 0 und der Fall x Stern größer 0,

die sind so ein bisschen konventionell unterschiedlich, bzw. man kann den Fall bei

der 0 besser üben. Der nächste Fall sieht ein bisschen kompliziert aus.

Deswegen fangen wir jetzt konkret mal bei Punkt x Stern gleich 0 an.

Und konkret heißt, wir wollen zeigen, dass f bei 0 stetig ist, das heißt für

alle Epsilon größer 0 existiert ein Delta größer 0, so dass für alle x aus dem

Definitionsbereich also, aus 0, das unendlich gilt, wenn x Abstand kleiner

gleich Delta von dem Punkt x Stern, das ist das x Stern an dem Punkt, das ist der Punkt,

bei dem wir die Stetigkeit überprüfen wollen. Also alle Punkte x, die Abstand

maximal Delta von x Stern haben, gilt, dass Wurzel x minus, das ist ja Wurzel x Stern,

dass Wurzel x Abweichung maximal Epsilon von Wurzel x Stern hat.

Also wir machen das jetzt, man kann es natürlich wieder so ein bisschen visualisieren,

wir könnten das mal probieren, also ich weiß nicht, ob mir das jetzt gut gelingt.

Das bedeutet Stetigkeit bei 0, sieht ja so aus, die Wurzelfunktion und wir wissen,

Wurzel von 0 ist da, das heißt jetzt können wir uns hier so ein Epsilon vorgeben,

nach oben und nach unten, das nach unten ist natürlich jetzt hier in dem Fall

obsolet, weil wir können mit der Wurzelfunktion keine Werte kleiner als 0

erzeugen, aber sei es drum, also für jedes noch so klein gewählte Epsilon finden wir,

also das grüne hier, das ist Epsilon, finden wir ein Delta, jetzt habe ich mir ein bisschen

ein Tor geschossen, indem ich es zu klein gemacht habe, machen wir es mal deutlich größer,

damit es besser aussieht, das ist hier Epsilon, also zu jedem Epsilon finden wir ein Delta,

sodass wenn wir x mit maximal, also Abstand maximal, Delta von 0 setzen, das ist hier Delta,

dann ist Wurzel x für alle Punkte, die hier drin sind, also egal wo wir jetzt hier sind,

sind wir in diesem Bereich Epsilon um nur darum, den wir uns gerade festgelegt haben.

Okay, also das ist die Visualisierung zu dieser Epsilon Delta Konstruktion, die wir auch schon mal in der Vorlesung

gemacht haben und jetzt geht es einfach nur darum, dass man es jetzt nachweist,

also man sollte versuchen für diese Epsilon Delta, für dieses Kriterium so eine Art von

Bild im Kopf zu konstruieren, damit man dann, wenn man diesen Beweis führen muss, in der Lage ist

sozusagen das Hirn auszuschalten, sich das nicht mehr intuitiv zu verstehen zu müssen,

sondern dass man wirklich einfach die Beweistechnik durchziehen kann. Und so geht der Beweis,

sei Epsilon größer 0, fest aber geliedig. Das ist der Start, den wir jetzt hier immer haben,

bei diesen Epsilon Delta Beweisen und auch bei den Epsilon Kriterium der Konvergenz. Wir müssen

zeigen, dass für jedes von uns von außen gegebenen Epsilon größer 0, wir was tun können,

nämlich so einen Delta wählen können. Das heißt der erste Schritt ist, wir können nichts machen,

wir bekommen Epsilon größer 0, über das wir keine Kontrolle haben. Ich mache jetzt das Gleiche,

was ich immer mache, ich denke drüber nach, was muss ich jetzt wohl machen. Ich muss jetzt einen

Delta wählen. Ich weiß aber noch gar nicht, was dieses Delta machen soll, das heißt es ist jetzt

nicht so schlau, jetzt mit irgendwelchen Deltas rumzurechnen, sondern besser ist,

man guckt hinten, wo man rauskommen soll. Okay, also Wurzel x minus 0, das können wir jetzt hier stark

vereinfachen. Das minus 0 können wir uns sparen, den Betrag können wir uns sparen, weil die Wurzelfunktion

immer betraglich größer 0 ist, das heißt, das ist gleich Wurzel von x und das hier soll kleiner

als Epsilon sein, das sollen wir irgendwie hinbekommen. Aber was für x sind das jetzt überhaupt?

Ja, das sind diese x, die wir mit diesem Delta hier so wählen sollen, also nochmal zur logischen

Konstruktion der Abhängigkeiten hier. Jemand gibt uns einen Epsilon größer 0 und wir behaupten,